UNIDAD 5

               

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE GUERRERO
UNIDAD ACADEMICA DE INGENIERIA


INGENIERIA CIVIL


METODOS NUMERICOS


UNIDAD 5


MAESTRA: LORENA ALONSO GUSMAN



ALUMNO:
BENITO SONORA PARRA


MATRICULA: 16354500


SEMESTRE 4to
GRUPO 401
TURNO MATUTINO




                                                                                                            20 DE JUNIO 2018

INDICE

   Introduccion

1.Ecuaciones diferenciales ordinarias

2. Método de Euler

3. Método Taylor

4. Métodos de Runge-Kutta

5. Conclusion

INTRODUCCION

En esta unidad conoceremos las ecuaciones diferenciales ordinarias y cada uno de los subtemas que se deriven de ese tema.




Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra derivadas (o diferenciales) de una función desconocida de una o más variables. Si la función desconocida depende sólo de una variable, la ecuación se llama una ecuación diferencial ordinaria. Sin embargo, si la función desconocida depende de más de una variable la ecuación se llama una ecuación diferencial parcial.

Un ejemplo de ecuación diferencial ordinaria es:



La variable independiente (v. i) es x

La variable dependiente (v. d) es y

Un ejemplo de ecuación diferencial parcial es:



La variable independiente (v. i) es "x" y "y"

La variable dependiente (v. d) es V




1. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

En matemáticas, una ecuación diferencial ordinaria (comúnmente abreviada "EDO") es la ecuación diferencial que relaciona una función desconocida de una variable independiente con sus derivadas. Es decir, una sola variable independiente (a diferencia de las ecuaciones diferenciales parciales que involucran derivadas parciales de varias variables), y una o más de sus derivadas respecto de tal variable.


Sea {\displaystyle y=f(x)}, tal que {\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }, {\displaystyle y^{(n)}} la n-ésima derivada de y, entonces una ecuación diferencial ordinaria (EDO) de orden n tiene siguiente forma:


{\displaystyle F\left(x,y,y',\ \dots \,y^{(n-1)}\right)=y^{(n)}} (2)


Para funciones vectoriales,{\displaystyle y:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{m}},

la ecuación (2) es llamada un sistema de ecuaciones lineales diferenciales de dimensión m.

Cuando una ecuación diferencial de orden n tiene la forma{\displaystyle F\left(x,y,y',y'',\ \dots ,\ y^{(n)}\right)=0}

es llamada una ecuación diferencial implícita, mientras que en la forma{\displaystyle F\left(x,y,y',y'',\ \dots ,\ y^{(n-1)}\right)=y^{(n)}}

es llamada una ecuación diferencial explícita.

Una ecuación diferencial que no depende de x es denominada autónoma.

Se dice que una ecuación diferencial es lineal si F puede ser escrita como una combinación lineal de las derivadas de y{\displaystyle y^{(n)}=\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}(x)y^{(i)}+r(x)}

siendo, tanto ai(x) como r(x) funciones continuas de x. La función r(x) es llamada el término fuente (traducido del inglés source term); si r(x)=0 la ecuación diferencial lineal es llamada homogénea, de lo contrario es llamada no homogénea.
SolucioneS

Dada una ecuación diferencial{\displaystyle F(x,y,y',\dots ,y^{(n)})=0,}

una función u: I ⊂ R → R es llamada la solución, y su gráfica se llama curva integral de F,3​ si u es n veces derivable en I, y{\displaystyle F(x,u,u',\ \dots ,\ u^{(n)})=0\quad x\in I.}

Dadas dos soluciones u: J ⊂ R → R y v: I ⊂ R → R, u es llamada una extensión de v si I ⊂ J, y{\displaystyle u(x)=v(x)\quad x\in I.\,}

Una solución que no tiene extensión es llamada una solución general.

Una solución general de una ecuación de orden n es una solución que contiene n variables arbitrarias, correspondientes a n constantes de integración. Una solución particulares derivada de la solución general mediante la fijación de valores particulares para las constantes, a menudo elegidas para cumplir condiciones iniciales. Una solución singular es la que no puede derivarse de la general.Solución de una EDO de primer orden

Si se considera una ecuación diferencial de la forma:


{\displaystyle y'=f(x,y})

una ecuación de primer orden resuelta con respecto a la derivada, se llama su solución general de la anterior ecuación diferencial, será una función del tipo:


{\displaystyle y=\varphi (x,C)}

que depende de una constante arbitraria C. Satisface ecuación diferencial para cualquier valor de la constante C. Además cualquiera que sea la condición inicial


{\displaystyle y(x_{0})=y_{0}}

siempre se puede asignar un valor C0 a la constante C, tal que la función y = φ(x, C0) satisfaga la condición inicial dada. Se presume que el punto (x0, y0) está en un intervalo donde se cumplen las condiciones de existencia y de unicidad de la solución.​ Las soluciones se pueden encontrar con auxilio de transformaciones idénticas y de cambios de variables















2. MÉTODO DE EULER

En matemática y computación, el método de Euler, llamado así en honor de Leonhard Euler, es un procedimiento de integración numérica para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias a partir de un valor inicial dado.

El método de Euler es el más simple de los métodos numéricos resolver un problema del siguiente tipo:

Consiste en multiplicar los intervalos que va de a en subintervalos de ancho ; osea:

de manera que se obtiene un conjunto discreto de puntos: del intervalo de interes . Para cualquiera de estos puntos se cumlple que:




.






La condición inicial , representa el punto por donde pasa la curva solución de la ecuación de el planteamiento inicial, la cual se denotará como .



Ya teniendo el punto se puede evaluar la primera derivada de en ese punto; por lo tanto:












Grafica A.

Con esta información se traza una recta, aquella que pasa por y de pendiente . Esta recta aproxima en una vecinidad de . Tómese la recta como reemplazo de y localícese en ella (la recta) el valor de y correspondiente a . Entonces, podemos deducir segun la Gráfica A:











Se resuelve para :








Es evidente que la ordenada calculada de esta manera no es igual a , pues existe un pequeño error. Sin embargo, el valor sirve para que se aproxime en el punto y repetir el procedimiento anterior a fin de generar la sucesión de aproximaciones siguiente:





Método de Euler Mejorado

Este método se basa en la misma idea del método anterior, pero hace un refinamiento en la aproximación, tomando un promedio entre ciertas pendientes.

La fórmula es la siguiente:



Donde



Para entender esta fórmula, analicemos el primer paso de la aproximación, con base en la siguiente gráfica:

En la gráfica, vemos que la pendiente promedio corresponde a la pendiente de la recta bisectriz de la recta tangente a la curva en el punto de la condición inicial y la "recta tangente" a la curva en el punto donde es la aproximación obtenida con la primera fórmula de Euler. Finalmente, esta recta bisectriz se traslada paralelamente hasta el punto de la condición inicial, y se considera el valor de esta recta en el punto como la Se presenta de nuevo el problema de valor inicial cuya solución se intenta aproximar:







(1)


Como en el método de Euler, se determina primero la malla {t0, t1, ... , tN} de paso h, donde t0 = a y tN = b. En estos puntos es donde se va a obtener la aproximación de la solución.



aproximación de Euler mejorada









3. METODO TAYLOR


Se presenta de nuevo el problema de valor inicial cuya solución se intenta aproximar:






(1)


Como en el método de Euler, se determina primero la malla {t0, t1, ... , tN} de paso h, donde t0 = a y tN = b. En estos puntos es donde se va a obtener la aproximación de la solución.

El método de Euler se obtuvo aplicando el desarrollo de una función en polinomios de Taylor con n = 1, para aproximar la solución de la ecuación diferencial del problema (1). El error local de este método, dado por el error de la fórmula de Taylor, resultó O(h2), llevando a un error global de O(h). Con el objeto de encontrar un método que mejore las propiedades de convergencia, se pueden utilizar, de la misma manera, polinomios de Taylor de mayor grado.

Se supone que la solución y(t) del problema de valor inicial (1) tiene (n+1) derivadas continuas. Si se hace un desarrollo de Taylor de la función y(t) alrededor del punto ti se tiene:






(2)


para algún número ξi entre ti y t. Si se evalúa la expresión (2) en t = ti+1, para cualquier i, y como ti+1 - ti = h, se tiene, para ξi entre ti y ti+1






(3)



Como y satisface la ecuación diferencial, en particular es y'(ti ) = f(ti,yi), y derivando sucesivamente (teniendo en cuenta que y es función de t, por lo que se deberá aplicar la regla de la cadena), se tiene:


y''(ti ) = f'(ti, yi) = (ft 1 + fy y')i = (ft + fy f)i


y'''(ti ) = f''(ti, yi) = [ftt 1 + fty y' + fyt 1 + fy' f + fy f ']i = [ftt + fty f + (fyt 1 + fyy y')f + fy (ft + fy f)]i

= [ftt + 2fty f + fyy f 2 + fy ft + fy2 f)]i

y en general, y(n)(ti ) = f(n-1)(ti,yi) (utilizando la expresión corta)

Al sustituir estos resultados en la ecuación (3), se obtiene:






(4)


La ecuación dada por (4) se llama ecuación de diferencias, y define el método de Taylor de orden n, que se obtiene suprimiendo el término de error que contiene el valor desconocido ξi.

Por lo tanto, la fórmula del método de Taylor de orden n resulta:






(5)



Método de Taylor de orden 1

Dado el PVI descripto por la expresión (1) tenemos que el método de Taylor de orden 1, tomando n = 1 en la fórmula (5), resulta:






(6)


Vemos que el método de Taylor de orden 1 resulta ser el método de Euler.

El error local de este método, que obviamente no se conoce, es 1/2 f''(xi) h2, por lo tanto, es O(h2), mientras que el error global resulta ser O(h)

Método de Taylor de orden 2

Según la expresión (5) para n = 2, el método de Taylor de orden 2 es:





(7)


Esta fórmula tiene un error local de O(h3), y un error global de O(h2). Es más precisa que la fórmula de Euler, pero requiere el cálculo de la derivada de la función f(t, y).

Método de Taylor de orden 4

Según la expresión (5) para n = 4, el método de Taylor de orden 4 es:





(8)


Esta fórmula tiene un error local de O(h5), y un error global de O(h4). Su precisión es mayor que las fórmulas (6) y (7), pero tiene el inconveniente del cálculo de hasta la tercer derivada de f(t, y).

Ejemplo

Sea el problema de valor inicial



A continuación, se aplican las fórmulas de los métodos de Euler, Taylor de orden 2 y 4 al problema de valor inicial, y se comparan los errores, teniendo en cuenta la solución exacta, que en este caso se puede calcular.

Para obtener las fórmulas (7) y (8), se necesita calcular, aplicando la regla de la cadena, las derivadas de orden 1, 2 y 3 de la función f(t, y) = t y:


f '(t, y(t)) = y + t y' = y + t (t y) = y(1 + t2)

f ''(t, y(t)) = y'(1 + t2) + y 2 t = t y (1 + t2) + 2 t y = (3 t + t3) y

f '''(t, y(t)) = (3 + 3 t2) y + (3 t + t3) y' = (3 + 3 t2) y + (3 t + t3) t y = (3+ 6 t2 + t4) y


Reemplazando en (5), la fórmula iterativa para el método de Euler resulta:






(9)


Según la fórmula (6), reemplazando las derivadas correspondientes se obtiene la fórmula del método de Taylor de orden 2:





(10)


Por último, reemplazando las derivadas en la fórmula (7), resulta la fórmula del método de Taylor de orden 4:






(11)


Con el valor de h = 0,25 se obtuvieron los valores que se muestran en la tabla, para los métodos de Euler y de Taylor de orden 2 y 4, según las fórmulas (10) y (11), y los errores absolutos de todos los métodos, respecto de la solución exacta, que en este caso se puede calcular en forma analítica, mediante separación de variables.


t exacta Euler Error Euler Taylor 2 Error Taylor 2 Taylor 4 Error Taylor 4
0,00 1,00000000 1,00000000 0,00000000 1,00000000 0,00000000 1,00000000 0,00000000
0,25 1,03174341 1,00000000 0,031743407 1,031250000 0,000493407 1,031738281 5,1265E-06
0,50 1,13314845 1,0625000 0,070648453 1,129943848 0,003204605 1,133103361 4,50921E-05
0,75 1,32478476 1,1953125 0,129472259 1,315325260 0,009459499 1,324639601 0,000145158
1,00 1,64872127 1,41943359 0,229287677 1,626173613 0,022547658 1,648348707 0,000372564
1,25 2,18420081 1,77429199 0,409908819 2,134352867 0,049847944 2,183310836 0,000889975
1,50 3,08021685 2,32875824 0,751458609 2,972253113 0,107963736 3,078122306 0,002094543
1,75 4,62395315 3,20204258 1,421910573 4,388717487 0,235235665 4,618968259 0,004984894
2,00 7,3890561 4,60293621 2,786119891 6,865942788 0,523113311 7,376895196 0,012160903


En el siguiente gráfico se pueden ver las soluciones obtenidas con los distintos métodos, y la proximidad a la solución exacta de cada una de ellas.

4. MÉTODOS DE RUNGE-KUTTA

Los métodos de Runge-Kutta (RK) son un conjunto de métodos iterativos (implícitos y explícitos) para la aproximación de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias, concretamente, del problema de valor inicial.

Sea

${\displaystyle y'(t)=f(t,y(t))\,}$

una ecuación diferencial ordinaria, con ${\displaystyle f:\Omega \subset \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ donde ${\displaystyle \Omega \,}$ es un conjunto abierto, junto con la condición de que el valor inicial de ƒ sea

${\displaystyle (t_{0},y_{0})\in \Omega .}$

Entonces el método RK (de orden s) tiene la siguiente expresión, en su forma más general:

${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+h\,\sum _{i=1}^{s}b_{i}k_{i}}$,

donde h es el paso por iteración, o lo que es lo mismo, el incremento ${\displaystyle \Delta t_{n}}$ entre los sucesivos puntos ${\displaystyle t_{n}}$ y ${\displaystyle t_{n+1}}$. Los coeficientes ${\displaystyle k_{i}}$ son términos de aproximación intermedios, evaluados en ƒ de manera local

${\displaystyle k_{i}=f\left(t_{n}+h\,c_{i}\,,y_{n}+h\,\sum _{j=1}^{s}a_{ij}k_{j}\right)\quad i=1,...,s.}$

con ${\displaystyle a_{ij},b_{i},c_{i}}$ coeficientes propios del esquema numérico elegido, dependiente de la regla de cuadratura utilizada. Los esquemas Runge-Kutta pueden ser explícitos o implícitos dependiendo de las constantes ${\displaystyle a_{ij}}$ del esquema. Si esta matriz es triangular inferior con todos los elementos de la diagonal principal iguales a cero; es decir, ${\displaystyle a_{ij}=0}$ para ${\displaystyle j=i,...,s}$, los esquemas son explícitos.

Ejemplo

Esquema Runge-Kutta de dos etapas, una en ${\displaystyle t=t_{n}}$ y otra en ${\displaystyle t=t_{n}+\Delta t_{n}}$. ƒ(t,y(t)) en la primera etapa es:

${\displaystyle f_{n}=k_{1}=f(t_{n},y_{n})\,}$

Para estimar ƒ(t,y) en ${\displaystyle t=t_{n}+\Delta t_{n}}$ se usa un esquema Euler

${\displaystyle f_{n+1}=k_{2}=f(t_{n}+\Delta t_{n}\,,y_{n}+\Delta t_{n}k_{1}).\,}$

Con estos valores de ƒ, se sustituyen en la ecuación

${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+\int _{t_{n}}^{t_{n+1}}f(t,y(t))\,dt,}$

de manera que se obtiene la expresión:

${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+{{\Delta t_{n}} \over 2}(k_{1}+k_{2}).}$

Los coeficientes propios de este esquema son: ${\displaystyle b_{1}=b_{2}=1/2;a_{21}=1;c_{2}=1.}$

Variantes

Existen variantes del método de Runge-Kutta clásico, también llamado Runge-Kutta explícito, tales como la versión implícita del procedimiento o las parejas de métodos Runge-Kutta (o métodos Runge-Kutta-Fehlberg).

Este último consiste en ir aproximando la solución de la ecuación mediante dos algoritmos Runge-Kutta de órdenes diferentes, para así mantener el error acotado y hacer una buena elección de paso.

El método de Runge-Kutta no es sólo un único método, sino una importante familia de métodos iterativos, tanto implícitos como explícitos, para aproximar las soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias (E.D.O´s); estas técnicas fueron desarrolladas alrededor de 1900 por los matemáticos alemanes Carl David Tolmé Runge y Martin Wilhelm Kutta.

Métodos de Runge-Kutta de cuarto orden

Un miembro de la familia de los métodos Runge-Kutta usado ampliamente es el de cuarto orden. Es usado tanto que a menudo es referenciado como «RK4» o como «el método Runge-Kutta».

Definiendo un problema de valor inicial como:

${\displaystyle y'=f(x,y),\quad y(x_{0})=y_{0}}$

Entonces el método RK4 para este problema está dado por la siguiente ecuación:

${\displaystyle y_{i+1}=y_{i}+{1 \over 6}h\left(k_{1}+2k_{2}+2k_{3}+k_{4}\right)}$

Donde

${\displaystyle {\begin{cases}k_{1}&=f\left(x_{i},y_{i}\right)\\k_{2}&=f\left(x_{i}+{1 \over 2}h,y_{i}+{1 \over 2}k_{1}h\right)\\k_{3}&=f\left(x_{i}+{1 \over 2}h,y_{i}+{1 \over 2}k_{2}h\right)\\k_{4}&=f\left(x_{i}+h,y_{i}+k_{3}h\right)\\\end{cases}}}$

Así, el siguiente valor (y_n+1) es determinado por el presente valor (y_n) más el producto del tamaño del intervalo (h) por una pendiente estimada. La pendiente es un promedio ponderado de pendientes, donde ${\displaystyle k_{1}}$ es la pendiente al principio del intervalo, ${\displaystyle k_{2}}$ es la pendiente en el punto medio del intervalo, usando ${\displaystyle k_{1}}$ para determinar el valor de y en el punto ${\displaystyle \scriptstyle x_{n}+{\frac {h}{2}}}$ usando el método de Euler. ${\displaystyle k_{3}}$ es otra vez la pendiente del punto medio, pero ahora usando ${\displaystyle k_{2}}$ para determinar el valor de y; ${\displaystyle k_{4}}$ es la pendiente al final del intervalo, con el valor de y determinado por ${\displaystyle k_{3}}$. Promediando las cuatro pendientes, se le asigna mayor peso a las pendientes en el punto medio:

${\displaystyle {\mbox{pendiente}}={\frac {k_{1}+2k_{2}+2k_{3}+k_{4}}{6}}.}$

Esta forma del método de Runge-Kutta, es un método de cuarto orden lo cual significa que el error por paso es del orden de ${\displaystyle O(h^{5})}$, mientras que el error total acumulado tiene el orden ${\displaystyle O(h^{4})}$. Por lo tanto, la convergencia del método es del orden de ${\displaystyle O(h^{4})}$, razón por la cual es usado en los métodos computacionales.

Ejercicios

5. CONCLUSIÓN

Esto ha sido todo. Como has podido comprobar, no es tan difícil como parecía resolver una ecuación diferencial. Únicamente hace falta tener cuidado con los cálculos, como siempre en el mundo de las matemáticas.

Pero esto es solo el principio. Con los conocimientos que has adquirido en este curso, ahora podrías seguir el estudio de las ecuaciones diferenciales con:
Sistemas de ecuaciones diferenciales: homogéneos y no homogéneos
Ecuaciones lineales con coeficientes constantes
Método de variación de las constantes
Método de los coeficientes indeterminados
Ecuación de Euler.
Sistemas lineales con coeficientes constantes
Método de eliminación
Valores y Vectores propios.
Transformada de Laplace
Aplicación de la transformada de Laplace a la resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales.
Y mucho más...



Espero que os haya servido y al menos hayáis perdido el miedo a las ecuaciones diferenciales.